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金沙投注网真的吗|专访数学界最高荣誉得主:学数学是否天分更重要?如何看待铺天盖地的奥数竞赛?

2020-01-11 13:04:48

菲尔茨奖也只授予40岁以下的数学家。这是数学领域的最高奖项。我认为黎曼对于数学发展的影响是最深刻的。ζ函数可以用来研究质数的分布,这是最重要也是最古老的数学问题之一。但是之后,其他数学家发现这个美丽的函数并不是唯一的,还有很多其他的方程,比如l函数,具有同样的性质。

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金沙投注网真的吗,本文刊载于《三联生活周刊》2019年第51期,原文标题《数学是一个整体》,严禁私自转载,侵权必究

主笔/苗千

无需去定义数学的美

三联生活周刊:从希腊时代开始一直到现在,数学已经发生了非常大的改变。当我们谈到数学,你想到的是什么?是你现在正在研究的课题,还是一个关于数学学科的整体图像?在你看来,数学的本质是什么?有什么东西自古希腊时代开始从未发生过改变?

吴宝珠:大多数时候我所想的都是我正在研究的问题。我想找出某一个特定问题的答案。关于什么是数学,我想这是一个关于整体的话题。这也和我为什么要把自己的一生都用来研究数学有关。对我来说,这是一项崇高的事业,一项人类从古希腊时代就已经开始的事业,它不断地前进。我可以从前人的研究中学习关于数学的知识,感受到它的美。让这个事业保持活力是一个崇高的工作。研究数学,为数学做贡献,让它更丰富,从这个角度来说,我们可以认为数学是一个整体。

三联生活周刊:很多人都谈到了数学的美感,你能否详细谈一谈这个话题,你如何定义和感受数学的美感?

吴宝珠:对于数学家来说,这是一个非常明显的事情,根本无需去定义数学的美。但是对于数学的门外汉来说,想要解释数学的美感就很困难了,因为这是一种精神上的体验。当你面对一些对你来说非常重要又无法理解的问题,你需要从一些非常聪明的人那里获得灵感,之后再去读书。一开始,这个问题的一切都显得非常奇怪,让人迷惑。你不得不花费很长的时间去研究、梳理。最终这些问题会变得简单,答案显而易见,你甚至不明白自己当初为什么会问出这样的问题。这样一个过程,让一些看似迷惑的问题在你的头脑中变得清晰,在你的思想中得以发展,最后变成简单的结构,这就是数学的美感。在经过很多的努力之后,让一些复杂的、让人望而生畏的东西变得简单而友好,这就是美的。

三联生活周刊:对于数学家来说,是不是天分更重要?毕竟在数学领域有着众多关于天才的传说,比如拉马努金、伽罗瓦?菲尔茨奖也只授予40岁以下的数学家。对于一个没有数学天分的普通人来说,有没有可能通过训练而成为一个优秀的数学家呢?

吴宝珠:不可否认,想要研究数学需要具有某种天赋。现在人们愿意相信,所有人都能做好所有的事情,但这不是真的。比如说踢足球,我不可能踢得像马拉多纳那么好,我猜马拉多纳做数学研究可能也不会太出色,这是一件非常正常的事情。但我也相信,很多人都有一定的天赋。天赋不是被某个人独享,比如说在十亿人里边只能出现一个天才。最重要的是,要为那些有数学能力的孩子营造一个良好的数学学习环境,让他们可以发挥自己的数学才能,爱上数学。在其他的科学领域里也是一样。这样才能保留人类已有的知识,并且创造出新的知识。

三联生活周刊:你是否在很小的时候就发现了自己的数学才能?

吴宝珠:并不是这样,我是从中学开始才非常认真地学习数学。在上中学之前,我只是一个非常普通的孩子。我当时在学校里学习还不错,但不只是数学,我对很多东西都很感兴趣。上了中学之后,我们需要解决一些很困难的数学问题,我很吃惊地发现那些问题对我来说显得都很容易。我发现自己很善于解决数学问题,并且推广数学问题的结论。随后我开始面对一些难度更高的挑战,这也让我越来越沉迷于数学。

三联生活周刊:当初是你父亲把你送到一所特殊的中学里?

吴宝珠:是的。我之前念的是一所很快乐的学校,在那里我学到了很多东西,也经常踢足球。当时我父亲还在苏联读博士,他回到越南之后,对那所学校不是很满意,所以他让我转到另外一所非常严格的学校(征王基础中学)。一开始我并不确定自己是不是擅长数学,我需要通过一个中学入学考试。因为准备不充分,第一次我失败了,经过一年时间的艰苦准备我才通过了那所学校的入学考试。

三联生活周刊:你是从什么时候开始,决定把研究数学作为你的职业?

吴宝珠:这并不需要做出一个正式的决定。在中学之前我从来没想过要一生都研究数学。我当时对很多事情都很感兴趣,我想成为一名工程师,建造机器。但是在学习数学之后,我对于数学难题感到非常激动,所以我只要跟随着自己的兴趣行动就可以了。

三联生活周刊:因为证明了朗兰兹纲领(langlands program)的自守形式基本引理,你在2010年获得了菲尔茨奖。这是数学领域的最高奖项。你能否简单介绍一下朗兰兹纲领,以及你的工作的重要性?

吴宝珠:这是一个很长的故事,而且很难把一个广泛又艰深的数学问题向普通读者解释清楚。可以说,关于朗兰兹纲领的最早一篇论文是黎曼(bernhard riemann)在1859年发表的。黎曼是一个真正的、纯粹的数学天才。我认为黎曼对于数学发展的影响是最深刻的。黎曼开创了微分几何,这是广义相对论的基础。他还发表过一篇关于数论的论文,改变了整个数论领域。

在1859年的那篇论文里,他研究了ζ函数(zeta function),这是数学领域中最美丽、最神秘的问题之一,这个问题即使到现在也还非常困难。ζ函数可以用来研究质数的分布,这是最重要也是最古老的数学问题之一。但是之后,其他数学家发现这个美丽的函数并不是唯一的,还有很多其他的方程,比如l函数,具有同样的性质。现在随便哪篇关于数论的论文都会讨论ζ函数和l函数等等。

我想从黎曼时代到20世纪中期,虽然还无法解释,但人们开始对于ζ函数和l函数具有的同样性质理解得越来越深。而对于如何使数学系统化,朗兰兹具有很开阔的眼光。比如数论是研究自然数的,包括研究质数的分布规律,但朗兰兹希望能够把数论和一个完全不同的领域——表示论(representation theory)联系在一起。

朗兰兹希望通过表示论中的一些特性来解释ζ函数和l函数的一些普遍性特征,这是数学界的一件大事。人们第一次认识到数学中一些通用的机制。数论非常艰深,它似乎有着无穷无尽新的和深刻的问题,但是又显得缺乏结构,只是有太多的现象。其中通用的原则是什么?朗兰兹为数论提出了一个通用的原则。

朗兰兹不只是提出了他的纲领,他在不同的层面提出很多纲领,非常难以应用和证明。但你不能只是提出自己的想法,还需要证据,需要精妙的计算把不同的层面联系起来。朗兰兹纲领的基本引理一开始只是一个不大重要的引理,虽然解决起来很困难,但是一旦解决,就可能得出一些有意义的定理。

如果确实存在一个更大的数学结构,那么一些数字必须相等。在这种情况下,人们开始计算这些数字。在进行了几百页的计算之后,这些数字始终相等,没有例外。当然计算不可能永远地进行下去。在过去30年里对朗兰兹纲领的研究进展越多,出现的阻碍也就越多。

人们已经在没有证明朗兰兹纲领的基本引理的情况下取得了很多进步,因此也就越来越需要证明这个基本引理(以确保这些进步是正确的)。我并不是说基本引理比这个领域中的其他问题更重要,我只是有了一种感觉,虽然别人无法证明,但是我可以。我花了一些时间研究朗兰兹纲领的一般原则,之后把它与一些几何结构联系起来进行解释。我想这是唯一一种能够解释这种巧合的途径。

获得菲尔茨奖完全改变了我的生活

三联生活周刊:人们喜欢把菲尔茨奖比作数学领域的诺贝尔奖。在获得了菲尔茨奖以后,你的生活和研究受到了哪些影响?因为获奖而带来的名声让一切变得更容易还是更复杂了?

吴宝珠:我认为菲尔茨奖和诺贝尔奖确实有相似之处,它们都是各自领域中最重要的奖项。当然并不是因为有一大笔奖金——奖金很少——而是因为它们都是由整个学术群体授予的奖项。菲尔茨奖是由国际数学联盟成立的一个组织做出最终决定,获奖人的名字会一直被保密,直到在每四年一次的国际数学家大会上宣布。

在整个数学世界里有非常多的天才人物,所以菲尔茨奖才被认为是数学界最重要的奖项。菲尔茨奖确定得主的过程可能和诺贝尔奖不大一样。对于菲尔茨奖来说,选择的数学家必须在40岁以下,根据他们最杰出的成就而不是整个学术生涯来评价。相比之下阿贝尔奖(abel prize)更倾向于因为数学家的整个学术生涯和对数学的整体贡献授奖。菲尔茨奖授奖的原因有时是两者的结合,但大多数情况是针对某个单独的成就,比如证明某个定理。

我还清楚地记得我接到拉兹洛·洛瓦兹(lászló lovász)电话的那一天。当时洛瓦兹是国际数学联盟的主席,而我正在哥伦比亚大学访问,只是访问一个月的时间,我真的不知道他是怎么找到我办公室电话的。他在电话里祝贺我获得菲尔茨奖,我确实有点受到惊吓了。当然,在之前我有预感自己会获得菲尔茨奖,有些人也在谈论我可能会获奖。但是当这件事成真,就成了一件大事,它改变了我的生活。

在获奖之前,我只是一个普通的数学家,喜欢在我的办公室里研究数学,不大会被外界打扰,但获奖之后我的生活被完全改变了。我也有朋友获得了菲尔茨奖,他们的生活同样被完全改变了。作为名人有了更多的责任,不管你愿意还是不愿意,都需要代表更多的人发言,这并不舒服。我来自一个小国,我获得菲尔茨奖对于越南来说是一件大事。有些事情我很早就想做,比如说推动越南的数学教育,在我获奖之前这很困难,但是现在就容易多了。我是一个名人,我可以直接和政治家对话,他们也会更认真地倾听。

获奖在其他方面也改变了我的生活。我需要和政治家们一起吃饭,开很多会。很多政治家都是很好的人,但这并不是我选择的生活。我更愿意和我的学生们不受干扰地研究数学。我有很好的生活,一个很好的家庭。我并不富裕,但是生活得很舒服。我希望做我想做的事情,希望可以把我的时间奉献给人类的知识——这才是我选择的生活。

获奖之后有时我会感觉很糟糕,但是我不能拒绝菲尔茨奖,或是把它退回去。这会像是背叛那些一直对我充满信心的人,那些人希望通过我来促进越南的数学教育。为了这个目标他们付出了很多努力。

我现在在越南生活的时间更多了。我会去做演讲,还需要负责一个研究所。越南是一个小国,也是一个穷国,所以想要说服别人,花费时间和金钱做一些没有明显收益的事情并不容易。在过去的10年里我花了很多时间做这样的努力,因此做研究的时间也就少了。我希望两者都能做好。

三联生活周刊:现在中国有很多讨论,我们是不是对国际数学奥林匹克竞赛投入了太多精力,也有人抱怨各种数学竞赛实在是太多了。你年少时曾经两次参加国际数学奥林匹克竞赛,并且两次都获得了金牌。你说过,第一次参赛的时候感到很兴奋,但是第二次参赛就开始感到疲惫。多年以后,你如何评价国际数学奥林匹克竞赛?对于年轻的数学家来说,这是一种必要的训练吗?

吴宝珠:在越南也有类似的讨论。人们批评说,如果数学只是作为一种竞赛项目,那么国际数学奥林匹克竞赛就没有任何意义。人们从虚荣的角度去批评,认为很多人就是为了证明自己的孩子更好,所以强迫孩子去参加竞赛。

这样参加国际数学奥林匹克竞赛的理由当然很荒唐,但是我相信其中也有好的方面,因为孩子们也愿意去竞争。当我还是个小孩子的时候,我非常喜欢竞争,我希望做到最好。当时我不可能具有成年人的智慧,认识到数学的价值、知识的价值,这只有在人生后来的阶段才可能意识到。因此我认为让小孩子认识到数学的重要性,从前人那里继承数学知识的遗产是不现实的,这样的说教对小孩子没有意义。小孩子希望玩,希望竞争。竞争本身就很有趣。那么我们为什么要把成年人的观念强加到小孩子身上呢?这同样不合理。

当小孩子想要去竞争,他们会因此爱上数学,这对学习数学是有益的。我想从这一点来说数学竞赛并没有错,问题是怎么样去组织这样的竞赛。从某些方面来说数学竞赛并不仅仅是关于小孩子本身。从根本上来说,让年轻人沉浸在数学、科学和知识中,是一件好事。但是不应该让他们因此遭受痛苦,受到太大的压力,比如告诉他们必须为国家或是家庭赢得奖牌,这是不对的。曾经有一个中国记者告诉我,一些中国人在获得国际数学奥林匹克竞赛奖牌之后不再研究数学,我想这是因为其中的压力太大了。

三联生活周刊:很多数学家,尤其是理论数学家,研究完全抽象的对象而并没有相对应的实体。进行这种完全抽象的研究,是一种可以培养的能力,还是一种“天才”?

吴宝珠:这样说是不准确的。对于我来说是非常具体的对象,对你来说未必具体。我认为数学家可能和物理学家有所不同。数学家需要完全凭借思考而从问题得出答案,并没有实验数学家和理论数学家之分——数学家必须两者兼备,通过数字、矩阵等等进行计算,而那些矩阵是非常具体的。这就是数学家理解一切现象的方法。人们很少能够通过纯粹的思考就能理解现象,而是必须通过例子,通过计算来理解。

数字、多项式、矩阵、运算法则……都是非常具体的。一些人会用计算机工作,但是也有很多数学家,包括我,只是用笔和纸工作。对于一个理论问题,你需要提出自己的定理和主张,并且用尽量简单的计算进行证明。简洁是美的,但同样也必须做到正确,过分的简洁可能就是错误的。(解决一个问题)首先要提出你的主张,用数学语言对它进行表述,最后的部分是去证明它。

三联生活周刊:一些物理学家研究所谓的“大统一理论”,希望能够用这样的理论解释宇宙中所有的现象。与之相对的是,数学的领域越来越广阔。数学有其自身的标准和结构,那么你是否认为数学在发展到一定阶段之后会开始“汇聚”?比如说出现某种数学理论可以兼容代数和几何?

吴宝珠:数学研究并不是为了解释这个世界。数学有点像是一个建筑工地,人们只是在建造不同的东西。数学家们只是希望能够思考得更清晰——有更多的数学,就能够思考和解释得更清晰和精确,所以数学研究并不是为了获得一个关于数学的大统一理论。

但同时,很多数学家也都相信,数学是一个整体——当然这还只是一种信念。数学理论之间会有联系,一个理论也会为另一个理论的发展提供帮助。数学理论就是这样发展的,在不同的数学理论之间会有相互联系。

除了数学之外,我们没有其他工具用来描述自然

三联生活周刊:你认为数学属于科学吗?

吴宝珠:数学并不属于应用科学,但是数学家与科学家的方法论是一致的。我们通过做实验来解释一些现象。数学家没有机器,但是我们有纸笔。通过计算,我们可以检验实验的对错与否。有时我们也可以通过反例或是证明来推进数学的进展,这与科学是非常类似的。

数学与科学也有不同之处,当一个数学理论被证明,即使还没有足够的普遍性,它也就永远被证明了(而科学理论则有可能被推翻)。

三联生活周刊:很多物理学家同时也是数学家,他们应用数学工具来解决物理学问题,同时他们对于数学可以如此准确地描述世界也会感到非常惊讶。作为一个数学家,你如何看数学定律与物理世界之间的联系?

吴宝珠:物理学家尤金·维格纳(eugene wigner)曾经说过一句名言:“数学在自然科学中有不合理的有效性。”该如何解释?这对我来说是一个过于深奥的哲学问题。有时我也会对数学的有效性感到惊讶,但是我想我们没有其他选择。除了数学之外,我们没有其他工具用来描述自然。你可以用中文、越南语或是法语作诗,但是想要描述自然界,只能通过数学。

我同时也对物理学对数学做出的贡献感到惊讶。数学虽然可以凭借其自身发展,但是一些来自物理学的理念开始成为某种数学定律,推动了数学的发展,这样的事情已经发生了不止一次。这真是太好了。

三联生活周刊:在数学领域,导师和学生之间的关系可能更重要,这更像是师傅和徒弟之间那种一对一的关系,所以才会有“数学家谱系工程”(mathematics genealogy project)。现在你是一个导师,也有自己的学生。作为一个导师,你认为应该对学生严厉,甚至苛刻,还是和善鼓励为主?

吴宝珠:我的博士导师是热拉尔·洛蒙(gérard laumon)。有些人可以完全靠自己学习,创造出属于他们自己的数学人格,但是对我来说,我的数学人格在很大程度上是在我读博士期间由热拉尔·洛蒙塑造的。

对于学生,我想需要既严厉又和善。首先,作为导师需要为自己的学生选择一个好问题。这个问题要重要、有趣,而且属于某个现代数学问题的一部分——如果你选择了一个根本没人关心的问题,这就毫无意义了。有的时候,导师还需要保护学生。因为学生都是年轻人,他们不可能像有经验的成熟的数学家们一样快。针对不同性格的学生也要因材施教,需要在几个月的时间里了解每一个学生。想象这样的年轻人会在未来成为一个怎样的数学家?这些都会成为你为他们挑选问题时的考量因素。

作为一个导师,需要时而严厉时而鼓舞,才能让学生有信心像一个出色的数学家一样解决难题。同时也需要严厉。因为学生们喜欢幻想,他们有美好的梦想,但是他们必须学习做艰苦的工作,而不是陷入到一个容易的模式中,只是去咖啡馆和人交谈,谈论一些理念,却没有解决真正难题的能力。数学家需要谦逊,花时间研究看上去简单甚至是天真的问题,真正花时间去解决它们。这就需要导师有严厉的一面。在一个工作的结束阶段,导师也需要表现得严厉。当一个学生开始写论文,需要花时间去阅读和批评,让这些工作没有错误,尽可能地完美。

三联生活周刊:对于年轻的数学家,你是否会鼓励他们像你一样解决一个大问题?但想要解决一个大问题,可能不容易发表论文,也不容易在学术界得到一份工作。该怎么处理这个冲突?

吴宝珠:我认为在博士毕业之后,立刻就开始研究一个非常大的课题并不是一个好选择。我自己并没有这样做。我的博士课题和罗伯特·朗兰兹纲领的自守形式基本引理有很紧密的关系,所以我尝试了一些想法(但并不成功)。之后我中断了5年时间,转而研究其他问题。能够解决一个问题并且发表论文是很重要的。而且法国有一个非常好的系统,年轻的数学家可以得到一个职位、拿到不错的薪水而没有发表论文的义务。所以数学家可以按照自己的节奏前进。

我博士毕业之后的5年是我生命中一段非常重要的时期,我学习了很多的数学知识。在读博士期间,我需要面对困难的问题,但是那些都是非常窄的问题,我并没有对整个数学领域有全局性的视野,我只是研究问题,解决问题,发表论文,在这个领域里有了一些名气。

在博士毕业五六年之后,我非常想回到基本引理问题。因此我给当时的合作者写信说我决定退出,开始一个人研究基本引理问题。这是一次冒险,但是相比于之前,危险已经降低了,因为我已经更成熟,有了一个终身职位,有了名气,我想把时间花在我真正想做的事情上。但这仍然是一个冒险,我在三四年的时间里没有发表任何论文。

三联生活周刊:你曾经在越南和法国接受教育,现在在美国做教授。能否比较一下这三个国家在数学研究领域的区别?

吴宝珠:越南还是一个发展中国家,职业数学家仍然很少。我有一个叔叔,几个月前刚刚去世,他是越南最早的几位数学家之一。所以说越南的数学研究大概只有50年的历史,这一点根本无法和美国或法国相比。

在法国,数学是人们精神生活的一部分。在法国的精英教育体系中,数学的位置非常重要。巴黎的数学家密度是世界上最大的,对于数学家和学习数学的学生来说,那是一个奇妙的城市。你可以向很多人学习,可以和很多人探讨。那里不仅有非常好的学校,也有非常好的竞争环境。最好的学生会去巴黎高师学习,那里杰出学生的密度大概是世界最高的。

在哈佛大学、普林斯顿大学、芝加哥大学的情况也类似,但是美国的环境稍有不同,这里更加分散一些。有更多地方可以进行数学研究,资金也更充足。如果你想做很多的事情,在美国会更容易一些。

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